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Este post é uma versão mais quantitativa do post anterior. Antes eu disse que linhas retas em um mapa de projeção de Mercator correspondem a espirais loxodrômicas em uma esfera. Este post tornará essa afirmação mais explícita.
Então suponha que traçamos um caminho reto de Quito a Jerusalém em uma projeção de Mercator.
O ponto vermelho no canto inferior esquerdo representa Quito e o próximo ponto vermelho representa Jerusalém.
A projeção de Mercator deixa a longitude λ inalterada, mas a latitude φ é transformada via
φ ↦ log( seg φ + tan φ )
pelas razões explicadas aqui. Podemos aplicar o inverso da projeção de Mercator para colocar o caminho acima em um globo e, quando o fazemos, fica assim.
O caminho planejado em um mapa de projeção de Mercator quando projetado no globo torna-se uma espiral logarítmica na projeção polar. A direção radial no gráfico acima mostra o ângulo para baixo a partir do Pólo Norte em vez do ângulo para cima a partir do equador.
Portanto, se nosso vôo de rumo constante continuar em vez de parar em Jerusalém, ele espiralará rapidamente em direção ao Pólo Norte. Parece parar no pólo a menos que você olhe com cuidado. Em teoria, a espiral continua e nunca chega ao pólo. Isso é fácil de ver no mapa de Mercator porque o Pólo Norte está infinitamente distante no eixo vertical.
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